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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
6.
Determine los intervalos de concavidad y convexidad y localice los puntos de inflexión de las siguientes funciones
f) $f(x)=x^{2} \ln x$
f) $f(x)=x^{2} \ln x$
Respuesta
Vamos a seguir los pasos que vimos en la clase "Puntos de inflexión. Concavidad de una función" 😊
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1) El dominio de la función es $(0, +\infty)$
2) Calculamos $f'(x)$ y $f''(x)$
$ f'(x) = 2x \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln(x) + x $
$ f''(x) = 2 \ln x + 2x \cdot \frac{1}{x} + 1 = 2 \ln x + 2 + 1 = 2 \ln x + 3$
3) Igualamos $f''(x)$ a cero para encontrar los puntos de inflexión
$ 2 \ln x + 3 = 0 $
$ \ln x = -\frac{3}{2} $
$ x = e^{-\frac{3}{2}} $
4) Dividimos la recta real en intervalos donde $f''(x)$ es continua y no tiene raíces, y nos fijamos el signo:
a) \( (0, e^{-\frac{3}{2}}) \rightarrow f''(x) < 0 \rightarrow f(x) \) es cóncava hacia abajo
b) \( (e^{-\frac{3}{2}}, +\infty) \rightarrow f''(x) > 0 \rightarrow f(x) \) es cóncava hacia arriba
Por lo tanto, $x = e^{-\frac{3}{2}}$ es punto de inflexión de $f$.